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基本原理：

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有：

y(i 1)=y(i) h*K1

K1=f(xi,yi)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi 1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

y(i 1)=y(i) [h*( K1 K2)/2]

K1=f(xi,yi)

K2=f(x(i) h),y(i) h*K1)

依次类推，如果在区间[xi,xi 1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

y(i 1)=y(i) h*( K1 2*K2 2*K3 K4)/6

K1=f(x(i),y(i))

K2=f(x(i) h/2,y(i) h*K1/2)

K3=f(x(i) h/2,y(i) h*K2/2)

K4=f(x(i) h,y(i) h*K3)

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算 在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性，因此，多用来计算“表头”。

 

四阶R-K方法